Общие теории в математике

Как правило, создание общей теории на базе разрозненных фактов приводит к унификации и упрощению доказательств, к построению изящной и отточенной формы изложения, позволяющей с единых позиций излагать многочисленные факты, ранее казавшиеся изолированными и никак между собой не связанными. Зачастую то, на что ранее затрачивалось много усилий и остроумия в развитой теории, получается в качестве простого следствия общего результата или даже как тривиальный вывод из общего понятия.

Конечно, такой обобщенный подход не дается даром и за него приходится платить большей абстрактностью вводимых понятий и большей общностью результатов. Но при этом всегда оказывается, что более общие точки зрения и понятия позволяют видеть дальше и глубже, дают
более широкий взгляд на предмет, возможность доказывать различные результаты нагляднее, естественнее и проще, чем при непосредственном, так сказать, кустарном подходе.

С таких общих позиций и прикладные аспекты теории становятся более зримыми и действенными. Нужно только научиться прикладные задачи излагать на выработанном в этой теории языке. Конечно, построение абстрактной теории несколько отрывает ее от непосредственных практических проблем, но при этом «выковывается» метод, одновременно мощный и гибкий, пригодный не для какой-то одной частной проблемы, но для многих проблем сразу — лишь бы
только изучаемые явления подпадали под действие тех логических основ, на которых покоится развитая теория.

Представление о чрезмерной абстрактности понятий и результатов не остается неизменным — оно относительно и изменяется с течением времени. И то, что вчера было абстрактным и с трудом укладывалось в сознании, сегодня воспринимается совершенно свободно,как само собой разумеющееся и необходимое для науки. Так случилось с понятием равномерной непрерывности функции. В начале XX века оно входило лишь в программы тех, кто подготавливался к получению профессорского звания. . Теперь же студенты первого курса университетов и пединститутов свободно его усваивают. Точно такая же ситуация сложилась и с понятиями теоретико-множественной топологии: в начале они казались далекими от настоящей математики и не воспринимались многими, даже крупными математиками, как необходимые понятия всей математики. Теперь они становятся известными многим студентам еще до слушания лекций по соответствующему курсу.