Винеровский хаос или Еще один способ подбросить монетку

Автор: The_Freeman
Источник: https://habrahabr.ru/post/343148/

Теория вероятности никогда не переставала меня удивлять, начиная ещё с того момента, как я впервые с ней столкнулся, и до сих пор. В разное время в разной степени меня настигали, назовём их «вау-эффекты», шоковые удары в мозжечок, от которых меня накрывало эффектом третьего ока, и мир навсегда переставал быть прежним.

• Первый «вау-эффект» я испытал от Центральной предельной теоремы. Берем кучу случайных величин, устремляем их количество в бесконечность и получаем нормальное распределение. И совсем неважно как распределены эти величины, неважно, будь это подбрасывания монетки или капли дождя на стекле, вспышки на Солнце или остатки кофейной гущи, результат будет всегда один — их сумма всегда стремится к нормальности. Разве что, нужно потребовать их независимость и существование дисперсии (позднее я узнал, что существует теорема и для экстремальных тяжелохвостых распределений с бесконечной дисперсией). Тогда этот парадокс долго не давал мне заснуть.
• В какой-то момент учебы в университете такие предметы как дискретная математика и функциональный анализ слились вместе и всплыли в теорвере под видом выражения «почти наверное». Стандартный пример: вы случайно выбираете число от 0 до 1. С какой вероятностью вы ткнёте в рациональное число (привет, функция Дирихле)? Спойлер: 0. Ноль, Карл! Бесконечное множество не имеет никакой силы, если оно счетно. У вас бесконечное число вариантов, но вы не выберете ни один из них. Вы не выберете 0, или 1, или 1/2, или 1/4. Вы и не выберете 3/2.
  Да-да, что выбрать 1/2, что выбрать 3/2, вероятность нулевая. Вот только в 3/2 вы не ткнёте точно, таковы условия, а в 1/2 вы не попадёте ну… «почти наверное». Концепция «почти всюду»/«почти наверное» забавляет математика, а обывателя заставляет крутить пальцем у виска. Многие ломают себе мозг в попытке классифицировать нули, но результат того стоит.
• Третий по счёту, но не по силе, «вау-эффект» настиг уже на переходе в advanced level
  

Читать дальше →