Экскурс в теорию. Часть 2. Алгебраические фракталы и бесконечный парадокс.
Здесь я попробую кратко и русским языком объяснить основы сущности и построения алгебраических фракталов.
Алгебраический фрактал с научной точки зрения - это математическое множество, перенесенное в виде графика на комплексную плоскость. А говоря простым языком, это формула, поведение которой при определенных начальных условиях позволяет создавать эти самые графики.
Теперь немножко подробнее. Возьмем за основу комплексное число k0 и простейшую функцию f(kn), определяющую каждое последующее значение переменной k. Таким образом, получим последовательность:
k0, k1 = f(k0), … , kn+1 = f(kn)
Решение одного цикла данной последовательности с начальным значением k0 имеет один из нескольких выходов:
- сама последовательность будет стремиться к бесконечности;
- последовательность будет сходиться в одной точке;
- последовательность зациклится.
Остальные варианты поведения в рамках фрактальной математики не рассматриваются ввиду своей сложности.
Таким образом, комплексные функции, имеющие одинаковый характер поведения и являются нашими фракталами, обладая свойствами рекурсивности или самоподобия.
Так, например, уже известный нам фрактал Мандельброта состоит из точек комплексной плоскости, которые при бесконечной итерации не стремятся к бесконечности, а замыкаются одним контуром. Сам контур же состоит из точек, уходящих в бесконечность за достаточно большое число циклов итерирования.
Все это легко увидеть наглядно – мы можем бесконечно приближать «тело» множества Мандельброта, но не увидим ничего нового (один сплошной фон). Однако, на контуре фрактала при последовательном (бесконечном) приближении мы видим новые и новые «узоры» графика – это и есть точки, уходящие в бесконечность.
Математический же парадокс состоит в различии картины реального мира и «мира», созданного нами в виртуальной реальности.
Если проще – на достаточно мощном компьютере мы можем запустить итерацию любого фрактального множества. Таким образом, мы можем бесконечно увеличивать масштаб контуров полученного графика и видеть новые «образования».
В реальном же мире понятие «бесконечность» весьма и весьма условно. Реальный мир конечен и условно ограничен атомами (если угодно – протонами, нейтронами, кварками, лептонами и т.д.), то есть неделимыми частицами, состав которых нам доселе неизвестен, аморфен, но, в любом случае – конечен.
Вот такой парадокс.
Пост подготовила @flow для сообщества Fractal
Дизайн: @dasarts