Проблема Монти Холла

Парадокс, который противоречит интуитивному восприятию, но объясняется теорией вероятностей.

Ранее в статье «Парадоксы и вероятность» уже давалось математическое объяснение некоторым противоречиям, которые не поддаются логическому или интуитивному восприятию.

Одним из таких парадоксов также является Проблема Монти Холла. Возможно вы о ней уже слышали или читали, например, в романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа», или видели в фильме «Двадцать одно».

В этом фильме герой актера Кэвина Спейси — профессор MIT Микки Роса предлагает своему студенту Бену Кэмпбеллу решить задачу: имеется три двери, за двумя из которых находится по  самокату, а за одной — автомобиль, необходимо угадать дверь с автомобилем. После того, как Бен сделал свой выбор на первой двери, Микки открыл третью дверь, за которой оказался самокат и предложил Бену изменить свой первоначальный выбор. Бен соглашается это сделать и математически аргументирует свое решение. Таким образом он проходит тест и попадает в команду Микки, которая обыгрывает казино, разработав план на основе теории вероятностей, посредством которого вероятность выигрыша при игре в блэкджек (двадцать одно) увеличивается в несколько раз.  

Задача Микки Роса — это и есть Проблема Монти Холла. 

Она названа в честь ведущего американской телеигры “Let’s Make a Deal” («Сделай сделку») Монти Холла (Monty Hall).

Американская писательница и журналист Мэрилин вос Савант (Marilyn vos Savant), кстати занесённая в Книгу рекордов Гиннесса как обладательница самого высокого в мире IQ, в своей рубрике «Спросите у Мэрилин» в журнале Parade еще в 1990 году так описала эту проблему:

Предположим, вы участвуете в игровом шоу и вам предлагают сделать выбор из трех дверей: за одной дверью стоит автомобиль; за другими —  козы. Вы выбираете дверь, например, №1, после этого ведущий шоу, который знает, что находится за дверьми, открывает одну из двух оставшихся, например, №3, за которой оказывается коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?». Выгодно ли вам изменить свой выбор?

Это невероятно трудная и противоречивая проблема!

Вот что написал об этом недавно экономист Тим Харфорд (Tim Harford) в Financial Times:

Забудьте последнюю теорему Ферма. Самой острой проблемой в математике является проблема Монти Холла. Монти Холл — урожденный Монте Гальпарин (Monte Halparin) — провел около 5000 выпусков американского игровое шоу «Сделай сделку» (Let’s Make a Deal), которое вдохновило эту загадку. Это головоломка — лук, «раздевая» который слой за слоем, вы будете плакать.

Итак, представьте, что вы находитесь на шоу Монти Холла и перед вами стоят три двери, за одной из которых находится автомобиль, а за двумя другими — козы.

Ведущий шоу Монти предлагает сделать вам выбор одной из дверей и, если за ней окажется автомобиль, то вы его получите.

Разумеется, что первоначально вероятность того, что машина находится за любой из дверей равняется 1/3 или около 33,3%. 

Вы выбираете случайную дверь, например, №1. Как мы отметили выше, вероятность того, что автомобиль стоит за этой дверью, составляет 1/3 или примерно 33%.

Очевидно, что вероятность того, что он окажется за оставшимися двумя дверьми будет 2/3 или примерно 66,6%. 

Монти знает, за какой дверью находится автомобиль, а за какими —  козы, и он открывает одну из других дверей, показывая козу. 

Монти спрашивает, хотите ли вы после этого изменить свой первоначальный выбор и выбрать дверь №3?

Интуитивно кажется, что вероятности нахождения автомобиля за первой и за третьей дверьми одинаковы — 1/2. И нет особого смысла менять свой первоначальный выбор.

Но, с другой стороны, в сценарии ничего не изменилось. Вероятность того, что ваш первоначальный выбор правильный, равен 1/3. А шансы, что автомобиль стоит за другими дверьми, по-прежнему составляют 2/3. Но теперь, благодаря Монти, осталась только одна закрытая дверь.

Поэтому, конечно, вы должны изменить свой выбор,  —  показывая вам, что за одной из двух оставшихся дверей нет автомобиля, Монти просто удвоил ваш шанс.

Большинство людей неизбежно и безнадежно обманывают себя, думая, что шансы 50/50 только потому, что осталось две закрытых двери. Они рассматривают ситуацию начиная с этого момента, не учитывая предыдущий этап.

Но если вы посмотрите на ситуацию последовательно, как было показано выше, то правильный ответ становится интуитивно понятен — нужно изменить свой первоначальный выбор, тем самым удвоив свои шансы.

Попробуем посмотреть на эту проблему по-другому. Представьте, что три человека выбрали первоначально каждый по одной двери — №1, №2 и №3. 

Если они не изменят своего решения после того, как будет открыта одна дверь с козой, то только один из них выиграет — тот, кто первоначально выбрал дверь №1.

Если же после того, как останется только две двери, они поменяют свой первоначальный выбор, то в выигрыше будут уже два человека — те, кто выбрали сначала двери №2 и №3.

Следовательно при изменении решения после того, как остается только две двери, вероятность выигрыша возрастает вдвое!

Одним из объяснений этого является следующее: если игрок меняет свой выбор после действий ведущего, то он выигрывает, если первоначально выбрал проигрышную дверь. А вероятность этого вдвое выше, чем выбор выигрышной двери, поскольку автомобиль один, а козы две.

Если же и это вас не убедило, попробуем составить таблицу всех вариантов: 

Как видно из таблицы, вероятность выигрыша при смене первоначального выбора вдвое выше,  чем при сохранении его. 

Разумеется, все вышесказанное справедливо для случая, когда ведущий во-первых, знает, что за какой дверью находится, во-вторых, открывает только дверь, которую не выбрал первоначально игрок и за этой дверью всегда должна быть коза.  

Если у вас еще остались сомнения, поэкспериментируйте с Симулятором парадокса Монти Холла.