Хитрая математика. Визуализируем умножение.
По просторам Интернета путешествует любопытный метод умножения натуральных чисел, основанный на геометрической интерпретации этого процесса. Впервые я наткнулся на него, возможно, год или полгода назад, но особо не заинтересовался, т.к. этот способ показался мне менее эффективным, чем традиционное умножение в столбик. Хотя сама идея привлекла, поскольку люблю изучать оригинальные решения общеизвестных задач. И вот недавно увидел его опять, почитал восторженные отзывы и решил рассмотреть данный вопрос подробнее.
Визуализация умножения позиционируется в Сети как изобретение китайцев, японцев и даже ариев. То есть он должен быть достаточно древним, с возрастом примерно в 4000 лет (если допустить его авторство за ариями). Кроме того, пользователи Интернета упоминают о том, что им пользуются в китайских школах и по сей день.
Расписываюсь в своей беспомощности, но я не смог найти информации, которая вызывала бы моё доверие и подтверждала все вышеизложенные версии. Единственное упоминание о находке в Японии древней таблицы умножения (именно таблицы), датированной VIII веком, меня не убедило. Данная ситуация для меня представляется странной, поскольку если бы этот способ на самом деле имел бы такие древние корни, то Интернет не ограничился бы переписыванием примерно двух-трёх одинаковых текстов, не содержащих абсолютно никакой исторической информации. Хотя, возможно, я просто плохо искал.
Далее я попытался найти подтверждение тому, что этот способ используется в школах современного Китая. И эта попытка, к моему сожалению, закончилась неудачно. Правда, я узнал много интересного о китайской методике преподавания математики и высоких результатах этой методики. Но ни слова о визуализации умножения. У меня сложилось впечатление, что, если рассказать какому-нибудь китайцу о нём, то в ответ можно получить полнейшее недоумение )))
Тем не менее, графическое представление умножения само по себе достаточно оригинально, вызывает интерес и разобраться в нём достаточно просто. Для умножения в столбик необходимо знать таблицу умножения и производить некоторые вычисления в уме. В графическом варианте знание таблицы умножения не является обязательным (на что, кстати, делают упор многие пользователи, восхищающиеся данным методом). Итак, в чём же его суть?
Допустим, что мы решили перемножить два числа: 46 и 52. Представим каждую цифру записи числа 46 в виде соответствующего количества вертикальных линий:
Аналогично поступаем с числом 52, только линии будут горизонтальными:
В результате мы получаем конечное множество точек пересечения всех этих линий, которые для определённости я буду называть "узлами", и интерпретация количества которых, в конечном счёте, и даст ответ. Если придерживаться порядка линий, предложенных мною (они показаны стрелками для каждого из чисел), то первая группа узлов, которую нам надо просчитать, находится в правом верхнем углу. Их - 12:
Точно также считаем количество узлов в противоположном углу, их - 20:
Теперь подсчитываем количество всех оставшихся узлов в левом верхнем и правом нижнем углах. В сумме их получается 38:
На этом роль визуализации заканчивается. Выписываем полученные три числа друг за другом слева направо в том порядке как они располагаются на рисунке: 20, 38, 12 и начинаем работу с ними в обратном порядке - справа налево. При этом применяем следующее правило: если в кружочке получается двузначное число, то цифру старшего разряда прибавляем к разряду единиц числа в предыдущем кружочке. То есть от 12 остаётся только 2, а единица добавляется к 38, делая из него 39. Затем от 39 остаётся только 9, а тройка прибавляется к 20 и получается 23. Последнее число так и остаётся в виде 23. Всё, ответ - 2392:
Проверяем на калькуляторе - бинго!
Возникает вопрос - как быть, если в каком-то из разрядов стоит цифра 0? В этом случае мы интерпретируем её не сплошной, а пунктирной линией, и узлы, получающиеся в результате пересечения с ней других полноценных линий, не считаем. Рассмотрю этот случай на более сложном примере: 3241*51024. Рисуем линии, задаём стрелками направление уменьшения разрядов чисел:
Затем, на мой взгляд, самый сложный момент визуализации. Нам необходимо правильно разбить рисунок на секторы. Придерживаемся следующего алгоритма: отделяем правый верхний и левый нижний углы (это проще всего), а затем, отталкиваясь от них, аккуратно "откусываем" новые секторы в направлении к центру, каждый раз увеличивая количество групп узлов на единицу. Проще показать ))) :
Просчитываем необходимые суммы и выписываем получающийся ряд чисел:
Осталось проделать с ними нехитрые преобразования, описанные выше и проверить ответ с помощью калькулятора:
Можно заметить, что этап визуализации нам нужен исключительно для получения опорных чисел, в дальнейшем рисунок не несёт никакой смысловой нагрузки. В случаем перемножения двузначных чисел, можно легко представить эту визуализацию в виде перемножения (определённым образом) цифр записи данных чисел:
В случаем с многозначными числами подобная замена представляется настолько запутанной, что я бросил её рисовать ещё на бумаге.
Освоив этот метод, я всё-таки решил проверить его эффективность. Для чистоты эксперимента попросил помочь мне в этом жену, предложив ей на скорость умножить в столбик контрольные числа. Она давно уже привыкла к тому, что муж у неё - сумасшедший, поэтому даже не стала спрашивать, зачем мне это надо. Просто попросила дать возможность немного потренироваться, поскольку на своей работе данные у неё обсчитывает компьютер, а она только указывает ему, как это делать. Примеры я взял другие: 73*45 и 3542*45132.
Результаты: первый пример "в столбик" - 20 секунд, "графически" - 52 секунды; второй пример "в столбик" - 1 минута 21 секунда, "графически" - 3 минуты 20 секунд. И это с учётом того, что я жульничал и вместо прямого подсчёта узлов получал их количества, используя умножение в уме, чем, естественно, существенно уменьшил затраченное время. А если бы в числах были только старшие цифры? Сколько бы линий мне пришлось рисовать тогда?
Поэтому, дети мои, учите таблицу умножения, оно и проще, и понятнее. Хотя и "китайский" способ вам может пригодиться, если вы захотите кого-нибудь удивить.
И помните, что знания - сила!