Арифметика долгожителя
Если вы когда-нибудь интересовались темой долгожительства, то наверняка слышали о французской рекордсменке Жанне Кальман. Она – идол для геронтологов, про неё упоминают чуть ли не в каждой презентации про борьбу со старением, и вполне заслуженно: старушка прожила 122 года! Причём не ведя при этом слишком уж здоровый образ жизни. Да, она любила прогулки, спорт (фехтование и теннис), до 100 лет каталась на велосипеде, но при этом регулярно употребляла вино и курила в течение 95 лет (столько не живут!). Исследователи пытаются найти зацепки к загадке исключительного долголетия в её питании: много фруктов, оливкового масла и шоколада, но вообще такой диеты придерживаются многие, однако прожить 120+ – это что-то из ряда вон выходящее.
Источник
Заглянем в Википедию. Я уже много лет слежу за списком живущих 110-летних долгожителей – статистика очень занятная. Из 36 проверенных на сегодняшний день супердолгожителей лишь двое мужчин, что безусловно печалит. По национальному признаку поражает превосходство японок – их аж 15. Много представителей США, Италии, Франции (аж три француженки в топ 10). Уж не знаю, дело ли тут в благоприятных климатических условиях или в этих странах просто лучше организовано документирование населения, что упрощает верификацию долгожителей. Но интереснее возраст лидеров. Самая большая цифра, которую я здесь встречал – 117 лет, и это довольно редкий случай. Последней достичь такого рубежа удалось японке Тиё Мияко, к сожалению, покинувшей нас этим летом. А теперь среди лидеров не осталось никого старше 115, так что ждать новых рекордов предстоит ещё долго: пожелаем старейшинам крепкого здоровья!
Но как в эти наблюдения вписывается число 122? Может это только сейчас столько не живут, а раньше было по-другому? Посмотрим на Список старейших людей в мире за всю историю. Видим здесь Жанну на первой строчке, аж на 3 года пережившую американку Сару Кнаусс на 2-м месте. А дальше – максимум 117 лет. Такая аномальная разбежка в цифрах даёт повод усомниться в истинном возрасте рекордсменки.
Сначала имеет смысл обратиться к математике и статистике. Существуют разные модели, оценивающие вероятность смерти в зависимости от возраста – об этом подробно пишет Николай Зак. А здесь классная презентация по этой же работе, с обилием графиков и пояснений – рекомендую.
Вероятность умереть в течение следующего года – растущая величина. Понятно, что в 20, 50 или 90 лет она будет совершенно разной, ведь от старения и болезней пока никуда не спрячешься. Однако было замечено, что после преодоления определённого рубежа в районе 105 лет, вероятность перестаёт расти. Она, естественно, никуда не исчезает и держится в районе 50% (что означает один шанс из двух прожить ещё целый год), однако больше не увеличивается.
Об этом явлении, называемом "плато смертности" как-то рассказывала @marina-nilova (надеюсь, Марина мой пост прочтёт, ибо мы с ней в комментах договорились прожить больше 110). Как объяснить плато смертности? Вероятно, супердолгожители от природы обладают крепким организмом, и поэтому менее подвержены возраст-зависимым заболеваниям. Если уж перевалили за вековой рубеж, значит никакие типичные смертельные недуги их не берут – и организм продолжает находиться в дряхлом, но стабильном состоянии. И всё же не бесконечно: помним про 50%.
А что это цифра означает на самом деле? Займёмся нехитрыми подсчётами.
Допустим, мне сегодня исполнилось 105 лет. Мои шансы протянуть до 106 равны пятьдесят на пятьдесят – как монетку подкинуть. Так себе перспектива, но что поделаешь. А если замахнуться на 107? Шансы падают в два раза, поскольку вероятности перемножаются: 0.5 × 0.5 = 0.25. Это как подкинуть две монетки и надеяться, что на обеих выпадет решка. Посмотрим, что будет дальше:
106 лет: 0.5 = 50%
107 лет: 0.5 × 0.5 = 0.52 = 0.25 = 25%
108 лет: 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.53 = 0.125 = 12.5%
109 лет: 0.54 = 0.0625 = 6.25%
110 лет: 0.55 = 0.03125 = 3.125%
Всего около 3%, что я дотяну до 110. Или можно сказать так: из сотни 105-летних долгожителей лишь трое отпразднуют следующий юбилей. Дотянуть же до "кальмановского" возраста – задача почти нереальная. Но всё же вычислимая, продолжим:
111 лет: 0.56 ≈ 1.56%
112 лет: 0.57 ≈ 0.78%
113 лет: 0.58 ≈ 0.39%
114 лет: 0.59 ≈ 0.195%
115 лет: 0.510 ≈ 0.098%
116 лет: 0.511 ≈ 0.049%
117 лет: 0.512 ≈ 0.024%
Из 10 тысяч 105-летних 2-3 дамы (не сомневайтесь, именно дамы) будут в 117-й раз выслушивать комплименты. Цифра маленькая, но вполне адекватная: загляните ещё раз в список долгожителей – там таких счастливчиков единицы. А Жанна ведь ещё целых 5 лет насмехалась над статистикой! Перейдём сразу к финишу:
122 года: 0.517 ≈ 0.00076%
Иными словами, из 130 тысяч 105-летних (где их столько взять?) лишь одна вытянет счастливый билет (потому что 130 000 × 0.00076% ≈ 1). И это была Жанна Кальман! Это на самом деле равносильно выигрышу джек пота, но возможно ли такое, что одна из первых валидированных французских супердолгожительниц сразу сорвала такой куш?
Для сравнения: график из упомянутой уже презентации. Здесь подошли к подсчётам несколько по-другому: с помощью компьютерной программы симулировали популяцию долгожителей, учитывая те же вероятности. Образно говоря, бросали виртуальные кости для каждого виртуального жителя до тех пор, пока не выпадет дубль :) За точку отсчёта взяли 110 лет, давайте посмотрим, что получилось.
На картинке ниже 4 графика, показывающие количество выживших в каждый момент времени.
Синяя линия изображает 80 реальных человек из базы долгожителей, включая Жанну Кальман – это благодаря ей график зашёл так далеко. Зелёная также основана на реальных данных среди итальянцев. Серый график показывает симулированную группу из 80 человек – как видно, они вымерли довольно быстро. Но если смоделировать выборку побольше (5000 фиолетовым цветом), то кому-то из них удача улыбается больше, и фиолетовая линия почти достигает Кальман. Результаты вполне согласуются с моими подсчётами: шансы прожить более 120 ничтожно малы.
Итак, чисто математически история Жанны Кальман кажется крайне маловероятной. А всё ли гладко в её биографии?
Продолжительность жизни француженки вроде бы не раз доказана и признана даже строгими валидаторами из Книги рекордов Гиннесса, однако есть в этой истории несколько подозрительных обстоятельств.
1. Жанна заключила, пожалуй, самую успешную сделку пожизненной ренты в истории. Нотариус Андре Раффре, обязавшись платить 90-летней бабушке ежемесячно около $500 в обмен на наследование её квартиры, и не подозревал, что ждать придётся так долго. В итоге он и не дождался – умер в возрасте 77 лет, троекратно переплатив стоимость желанного жилья. После чего ещё и вдове его пришлось пару лет платить по договору. Комментарий Жанны короток и ироничен:
Каждый однажды совершает плохую сделку.
2. Француженка демонстрировала удивительные для её возраста способности. Даже в последние годы жизни она активно общалась с журналистами, проходила когнитивные тесты на уровне 80-90 летних, позировала для фото и даже снялась в эпизоде полнометражного фильма «Винсент и я», где поведала о встрече с Ван Гогом (тот на самом деле какое-то время творил в её родном городе Арле):
3. Есть любопытное предположение (родившееся в дискуссиях на французских ресурсах), что под именем Жанны Кальман скрывалась её дочь Ивон. Она действительно существовала и по официальной версии умерла в 1934 году. Не буду здесь вдаваться в подробности, но поводы для сомнений имеются: находят нестыковки в переписях, внешнюю схожесть двух женщин, анализируют редкие сохранившиеся фото, в том числе на предмет принадлежности костюма той или иной эпохе. Кому интересно, идёт обсуждение в фейсбуке здесь и здесь. Свой "модный приговор" вынес даже признанный эксперт:
4. И ещё аргумент в пользу прошлого пункта: однажды Жанна распорядилась уничтожить все старые семейные фотографии. Заметала следы? Впрочем, в случае заведомого мошенничества она наверняка позаботилась бы об этом сама, пока была ещё полна сил.
Однако, я думаю, несмотря на все усилия независимых исследователей, никто не позволит потеснить имя мадам Кальман с верхней ступени геронтологического пьедестала. За крамольные мысли их уже банят на соответствующих форумах. Новых фактов не появилось, а перепроверять старые вряд ли кто-то согласится. Тем более разоблачение Жанны будет означать, что куча уважаемых учёных верификаторов, а также официальные лица, включая мэра и президента страны, считавших её национальной гордостью, попросту сядут в лужу!
Но если всё-таки дело дойдёт до повторного расследования, то очень может быть, что заоблачная цифра 122 исчезнет из лекций и книг, а следующей под пристальный взор скептиков попадёт Сара Кнаусс с её тоже очень крутой 119-летней заявкой. А математики лишний раз убедятся в правильности своих статистических моделей.
Впрочем, желаю всем лично нарушить эту статистику!