Математические интересности №2: брахистохрона

Из пункта А в пункт Б быстрее, чем по прямой.

Многие процессы, что нас окружают кажутся очевидными и логичными, но если углубиться в них, то можно найти множество интересных вещей. Все мы учились в школе, и знаем, что кратчайший путь из пункта А в пункт Б - это прямая, при условии, что мы находимся в плоскости двух координат, например X и Z. Но что если мы будем находиться в системе координат X и Y, и будет действовать только сила тяготения. Вот к примеру задача, по какой из трех кривых шар спуститься за меньший промежуток времени?

Не знаю, как Вы, а я выбрал вариант под номером три, и был абсолютно не прав, так как верная картинка №2. А называется эта чудесная кривая - брахистохрона. Название конечно помпезное, от греческих слов (βράχισ τος — кратчайший и χρόνος — время), ну прямо "говорящая фамилия". Чтобы нарисовать брахистохрону нужно обратиться к другому интересному термину - рулетта. Это траектория фиксированной точки производящей окружности, катящейся без скольжения по прямой. Грубо говоря, это точка рисует траекторию движения, вот один из примеров, когда рулета отрисовывает кривую, если точка расположена на половине радиуса окружности (эти кривые имеют специальное название - трохоиды)

1. Здесь точка находится за пределами окружности, и отрисовывает кривую, которая сама себя пересекает.

2. Здесь точка находится в центре окружности, и рулета отрисовывает прямую, именно поэтому колесо на транспортных средствах круглое, а например, не треугольное.

3. Интересная особенность, если колесо будет треугольным, но изгиб поверхности будет компенсировать геометрическую форму, то рулета также отрисует прямую, и теоретически транспортное средство на такой необычной ходовой не будет Вас укачивать.

4. Здесь точка находится на краю окружности и отрисовывает так называемую циклоиду, а вот отрезок этой циклоиды и есть брахистохрона, про которую мы сегодня ведем интересную беседу.

5. Сами циклоиды весьма интересны с геометрической точки зрения, если одна окружность с тем же радиусом, будет катиться по другой окружности, то точка на краю первой, после полного оборота вернется в начальную позицию.

6. Если радиус будет составлять половину окружности или еще меньший, то мы увидим вот такую красивую закономерность.

7. Совсем интересный геометрический эффект можно видеть, когда первая окружность в два раза меньшим радиусом, вписана во вторую, создается ощущение, что точка движется по прямой. Все эти геометрические законы широко применяются в машиностроении, например, движение поршня.

Любое расстояние за одно и то же время.

Все предыдущие картинки были занимательны, но мы отошли от королевы сегодняшнего разговора - брахистохроны. Последняя задачка на сегодня, друзья мои. В каком из трех вариантов шарик прикатится быстрее к точке Б?

Это последнее на сегодня чудесное свойство брахистохроны, на любой точке отрезка тело приходит к финишу за одинаковое время. По скольку, чем ближе тело к финишу, тем меньше наклон дуги и тем меньшее он получает ускорение от силы тяжести, но компенсирует все это укороченным путем следования. Аналогично и наоборот, чем дальше тело от финиша, тем большее расстояние ему придется пройти, но и уклон дуги даст большее ускорение. Вот такие дела.

P.S. Математика чудесная и интересная наука, давайте вместе окунаться в этот дивный мир и познавать новое.