Как по-французски "домашняя работа" и "домашнее задание"?

Это ведь далеко не одно, и то же, господа хорошие! Кто французский знает, им сразу на ум приходит слово le devoir (но не во множественном числе). 

И правда, оно имеет как широкое значение.
например,

- "долг" (перед кем-то или чем-то) или
"должествование"

- так и собственно, значение "письменное задание"

В контексте школы, института и т.п.  выражение "домашнее задание" традиционно употребляется так:

le devoir à domicile

à domicile
- это так называемое наречное выражние (locution adverbiale)

само же слово le domicile означает "жилище" или "место жительства".

и поэтому à domicile означает

"дома"
"надомный",
"на дому"
"в домашних условиях"

Имеется в виду, "делать что-то дома", или "работать на дому"

Вот и получается: le devoir à domicile
"Задание на дом"

Но когда контекст понятен (например, во время занятия в школе или институте)
само слово le devoir используется просто так, без добавления à domicile

2. А как правильно написать  "Домашняя работа" в заголовке в тетради или где-то еще.

"Домашняя работа"

используется уже известное нам слово
"le travail" и опять же это выражение

à domicile

И получается,
для заголовка в Тетради "Домашняя работа"
мы пишем

Le travail à domicile

3. Вот несколько выражений со словом "задание"
которые всем изучающим или преподающим французский язык нужно знать.

Запишите домашнее задание -
Notez le devoir

Какое домашнее задание на сегодня?
Quel est le devoir pour aujourd'hui?

Какое домашнее задание на пятницу?
Quel est le devoir pour vendredi?

Проверим домашнее задание!
Vérifions le devoir

в этих выражениях (как сказано выше)
можно не добавлять à domicile
 

И пусть у вас будет столько ума, что не унести!