CCI. Точка невозврата. Математики, суперкомпьютеры и самое большое существующее число
…. год 2198
Истощенный длительным странствием Путник все еще двигался вперед, по выбранной наугад дороге не видя цели и не зная, что его ждёт дальше. Он разглядел что-то вдали, напоминающее терминал с картой местности или это был всего лишь мираж…Это был его шанс на спасение. Кажется, в ногах появились силы двигаться быстрее, чтобы лучше разглядеть, что именно там впереди. Городские джунгли уныло нависали, создавая препятствия на пути.
Почти молясь Путник шел к цели, мечтая увидеть карту, чтобы понять, куда именно двигаться дальше за ресурсами и рассчитать все возможности и затраты для дальнейшего передвижения. Его умный браслет уже начал бить тревогу об истощении организма и необходимости защитить себя от воздействия токсичной окружающей среды, усталость тоже давала о себе знать. Этот суперкомпьютер мог спасти ему жизнь. Хотя ещё десяток лет назад, он был бы всего лишь рядовой неприметной вычислительной машиной...
…. год 2018
Долгие годы математики не спешили признавать успехи технологий. Довериться компьютеру, а уж тем более суперкомпьютеру, в математической среде считалось моветоном. Более того, ученые любили демонстрировать свое превосходство над вычислительными машинами.
Когда в середине XX века остро возникла необходимость проводить сложные математические расчеты для создания самого мощного оружия, некоторые специалисты демонстрировали воистину выдающиеся возможности человеческого интеллекта. Группе советских ученых под руководством академика Ландау удалось правильно провести сложнейшие расчеты основной модели водородной бомбы вручную.
Американцы, работавшие в те же годы над аналогичным проектом, отложили расчеты до появления новых мощных компьютеров.
Запредельная сложность доказательств
Математиков можно понять. В 1976 году компьютер помог справиться с проблемой теоремы о четырех красках. Обратимся к Википедии:
Сложность была в том, что доказать это математики обычными методами не смогли.
И вот, впервые в мире суперкомпьютер простым перебором тысяч раскрашенных карт находит решение. Однако математики принимают решение «в штыки» — ведь проверить доказательство компьютера вручную уже никто не мог. В конечном счете, «доказать доказательство» удалось только в 2004 году с помощью специально созданной компьютерной программы. Горькая ирония — мы проверяем суперкомпьютер с помощью обычного компьютера.
Очень быстро, буквально за 30 лет, математики, а вместе с ними и другие ученые, пришли к парадоксальной ситуации — технологии дают нам ответы на загадки природы, но нам все труднее проверять достоверность этих ответов.
В конце этой статьи вы увидите нечто, что ставит в тупик не только людей, но и машины.
Несколько лет назад у математиков случился очередной казус: с помощью суперкомпьютера трое ученых создали доказательство в виде файла, который занимает 200 терабайт. Сокращенное решение, которое позволило бы провести проверку доказательства, весит «всего» 68 гигабайт. Любому желающему понадобилось бы 30 000 часов для проверки. Добровольцев не нашлось.
200-терабайтное доказательство было создано для решения проблемы булевых пифагоровых троек.
Описание задачи в Википедии:
Потребовалось 48 часов работы 800 ядер суперкомпьютера, чтобы путем перебора доказать теорему. Затем исследователи проверили доказательство, используя другую компьютерную программу.
Если понимать работу математиков, как попытку улучшить человеческое понимание математики, а не накапливать все больше фактов. То решение, данное компьютером, только усугубляет наше неведение об истинной природе вещей.
В 2014 году с помощью суперкомпьютера было найдено решение проблемы несоответствия Пала Эрдёша. Решение заняло 13 гигабайт. Однако математик Теренс Тао не смирился с таким исходом дела и, объединившись с другими математиками, смог вывести свое решение — буквально сделав доказательство с помощью ручки, бумаги и интеллекта.
Однако подвиг Теренса Тао это уже исключение, а не правило. Современные математические доказательства слишком велики для непосредственного контроля людьми.
Проблема пифагоровых троек — частные случай в разделе математики, известном как теория Рамсея. Другие доказательства проблем в этой области, вероятно, будет намного больше, чем 200-терабайтное решение. Если только исследователи не смогут упростить процесс проверки в каждом конкретном случае.
За пределами возможностей
Мы используем компьютеры для моделирования и прогнозирования систем, начиная от прогнозов погоды до аэродинамических характеристик автомобиля. Суперкомпьютеры позволяют нам решать проблемы, которые ранее не поддавались анализу.
Рост производительности суперкомпьютеров является в значительной мере результатом улучшения математических моделей и алгоритмов. Фактически, увеличение производительности многих научных приложений, полученных в результате этих улучшений, часто превышало увеличение производительности из-за закона Мура.
Однако суперкомпьютеры не могут решить все существующие математические загадки.
Конечно, суперкомпьютеры быстрые, но они не имеют врожденного понимания математики. Они не могут заниматься творчеством. У них нет интуиции или способности совершать открытия за пределами логики. Если вы хотите, чтобы они работали над проблемой, вам сначала нужно разбить её на самые простые шаги.
Есть множество проблем (особенно в самой математике), которые мы не понимаем. И мы не знаем, как разбить их на элементарные части, чтобы решить с помощью компьютеров.
И одна из величайших проблем, в которой компьютеры почти бесполезны, находится почти у края бесконечности.
Какое самое больше число вы можете назвать?
Не торопитесь. Речь идет о числе, которое имеет смысл, поэтому варианты «бесконечность -1» или «назови самое большое число +1» не принимаются.
Давайте снова обратимся за помощью к компьютерам. Существует проект GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) — самый продолжительный (почти 20 лет) непрерывный глобальный проект «массового суперкомпьютера». Суть его проста — вы ставите себе программу, которая считает числа. Тысячи людей по всему миру делают то же самое. Суммарная мощь «народного суперкомпьютерного кита» — 360 000 процессоров и 150 триллионов вычислений в секунду.
С помощью GIMPS ищут простые числа Мерсенна (Mn=2n-1). Последняя находка в этих поисках — это число, в котором более 17 миллионов цифр.
Однако это число — ничто, если сравнивать с одним из самых больших существующих чисел в мире. Речь идет о числе Грэма. Его размеры настолько потрясают, что, скорее всего, вы о нем уже слышали. Кратко напомню его суть. Главное тут не то, сколько цифр занимает число Грэма, а то, что приблизиться к его пониманию математики смогли без помощи компьютеров – ручкой, бумагой и собственным мозгом.
Итак, я не могу сказать вам сколько цифр содержит число Грэма. Если бы даже хотел сделать это, мне бы не хватило и вечности.
Суперкомпьютеры не могу посчитать число Грэма.
Более того, даже если бы могли построить суперкомпьютер размер с Землю, то не смогли бы оперировать подобными числами.
Граница воображения
Есть хорошее видео, которое объясняет суть числа Грэма.
Для записи сверхбольших чисел используют стрелочную нотацию Кнута — это расширение возведения в степень. Точно так же, как возведение в степень является повторным умножением (и обозначается одной стрелкой вверх), две стрелки вверх обозначают итерационное возведение в степень, три стрелки вверх обозначают повторное итерационное возведение в степень и т. д.
Ну или так:
3↑↑5 = 3↑3↑3↑3↑3 = три в степени три в степени 7 625 597 484 987 — уже на этом этапе мы превзошли всё количество атомов в нашем измерении.
Что будет, если добавить еще одну стрелку?
Я не буду приводить здесь все формулы, давайте посмотрим на результат: 3 ↑↑↑ 3 дает нам башню из степеней троек высотой в 7 триллионов чисел. Еще раз это не само число, в котором 7 триллионов знаков, это башня его степеней. Само число не понять, да и осознать уже нельзя.
Со стрелками числа растут невероятно быстро.
А что будет, если появится четыре стрелочки?
Не знаю, что вам сказать... Можно посмотреть на формулу:
У этого числа даже названия нет.
А теперь посмотрим на число Грэма — это башня из 64 «слоев» стрелок.
Самый первый уровень, так называемый g1=3 ↑↑↑↑ 3. Формулу вы видели выше.
Но самое ужасное, кошмарное и невообразимое находится дальше!
Количество стрелочек на слое g2 равно числу g1.
А количество стрелочек в g3 равно g2.
И так до g64.
Суть числа Грэма в том, что оно может реально использоваться. В 1977 году Мартин Гарднер писал: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил... рекорд для самого большого числа, когда-либо использовавшегося в серьезном математическом доказательстве».
Давайте спокойно окончательно сойдем с ума. Число Грэма уже не является самым большим числом.
К сожалению, есть еще больше. Проблема в том, что в некоторой степени мы достигли предела того, что сами можем понять и объяснить. Есть числа за пределами нашего понимания.
Пусть FOOT (n) означает наибольшее натуральное число, однозначно определяемое в языке FOOT не более чем в n символах; мы определяем число BIG FOOT как FOOT10 (10100), где FOOTa (n) является числом FOOT (n), повторяемом а раз. Таким образом, число BIG FOOT равно:
FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(10^100))))))))))
FOOT означает First-Order Oodle Theory – это теория из математической области логики первого порядка.
Думаю, на этом можно и закончить.
Меня всегда привлекала красота в формализме математики. В том, как вы можете принять физическую реальность и превратить её в математические уравнения. И здесь никакие технологии, никакие квантовые суперкомпьютеры не сравнятся с уникальной возможностью человеческого мозга.
Автор: @randall
Контакты
Чат Легиона Хаоса в телеграм: Scintillam
Личка в телеграм: varwar, lumia, dajana
Тег: chaos-legion