Теория хаоса часть 2 - Аттрактор
Автор: @meskalinerush
Эта статья – прямое продолжение первой части о Хаосе.
Для того чтобы разобраться в этом поведении, нам нужно обратиться к истории, а именно - к первооткрывателю Хаотического поведения Эдварду Лоренцу. Лоренц занимался метеорологией, детально изучал погодные явления - причины, “поведение”, следствия и т.д. В 1959 году он сделал компьютерную модель атмосферы нашей планеты. Его программа моделировала движение воздушных масс.
Компьютер, а с ним и программа, – это системы, исключающие случайности ввиду самой архитектуры, а потому такие системы можно считать строго детерминированными. Лоренц вводил первоначальные данные, и программа прогоняла их через себя, выдавая определенные результаты. Компьютеры раньше были ну очень медленными. В какой-то момент то ли по ошибке, то ли преднамеренно в целях ускорения получения результатов метеоролог ввел не точные первоначальные данные, как делал это всегда, а округленные, из середины предыдущих вычислений. Результат, который выдала его система, был совершенно иным! Он показывал строгую зависимость от начальных условий. Именно эта зависимость и называется Хаосом в математике.
В атмосферной модели Лоренца всего три параметра, и выглядит она довольно простой. В этой виртуальной модели два очень близких поначалу состояния атмосферы скоро начинают двигаться совершенно по-разному: через какое-то время они обозначают очень далёкие друг от друга состояния. Лоренц открыл эту чувствительность к начальным условиям в своей модели. Вот очень хорошее видео на эту тему:
Продолжив свои опыты с уравнениями, Лоренц создал простую модель из трех уравнений с тремя переменными. Модель описывала конвекцию в газе и жидкости, а также поведение несложного механического водяного колеса под воздействием потока жидкости сверху. Под напором воды, наполняющей емкости (и вытекающей из них сквозь небольшие отверстия), колесо ведет себя непредсказуемо: замедляет вращение, ускоряет его, начинает вращаться в другую сторону.
Источник фото:
Для построения выводов Лоренц использовал не обычный график с координатами, а фазовый портрет. Три числа, описывающие состояние системы, обозначали координаты точки в трехмерном пространстве. С каждым шагом на фазовом портрете появлялась новая точка. Если колесо крутилось в одну сторону, то фазовый портрет был в одной плоскости, при вращении колеса в другую сторону картина на фазовом портрет менялась, и рисовалось другое крыло «бабочки», причем одна точка никогда не совпадала с предыдущей.
***
Такие объекты принято называть странными аттракторами, а крылья получившейся бабочки – аттрактором Лоренса.
Лоренц крепко задумался и в 1963 году написал статью «Детерминированное непериодическое течение», заложившую не только основы теории Хаоса, но и изменившую представления о моделировании погодных явлений. Статья была опубликована в журнале «Journal of the Atmospheric Sciences». В 1972 году он сделал научный доклад «О возможности предсказаний: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» и с тех пор выражение «эффект бабочки» широко распространилось во всех кругах и сообществах, став новым символом представлений о Хаосе.
Эта формулировка иллюстрирует суть теории Хаоса, которая сейчас играет важную роль едва ли не во всех областях современной науки.
Здесь есть информация, как самостоятельно сделать данный аттрактор на электрической цепи:
https://habrahabr.ru/post/153691/
Аттрактор Лоренца – из семейства странных аттракторов - компактное инвариантное множество в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым. Отмечу также, что скорость схождения-расхождения траекторий аттрактора и его размерность являются мерой Хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Таким образом, структура странного аттрактора фрактальна, схождения-расхождения траекторий случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются, проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса.
Каково же применение теории Хаоса? Это, во- первых, возможность по-новому взглянуть на привычные вещи и увидеть, что в повседневных вещах, будь то жизненные процессы или математические и физические явления, присутствует Хаос. Кроме того, наука о теории Хаоса еще молода, но даже при ее сравнительной молодости ее применяют при моделировании биологических систем, при финансовых расчетах и т.д.
Ну что, друзья, надеюсь, еще одним нераскрытым вопросом стало меньше, и мы с вами начали больше понимать суть некоторых явлениях, окружающих нас и, конечно же, - во фракталах!
Пост подготовил @meskalinerush для сообщества Fractal