Неразрешимая задача трисекции. В пути….

     Пару месяцев назад в обычном споре со своим знакомым меня остановили фразой «вот сначала раздели угол на три части при помощи только циркуля и линейки, тогда и поговорим». Для меня это стало вызовом, хоть и всем давно ясно, что неразрешимость этой задачи доказана П.Л. Ванцелем еще в 1837 году. Понятное дело, первым, что я сделал, была ловля googl’ом в бескрайнем море интернета – может все же кто-то умудрился ее решить и вопрос растворился бы сам собой, но все попытки решения увязли в пучине доверия П.Л. Ванцелю и застряли в далеком 1837-ом. И самый приближенный способ оказался таким:

 Очевидно, что неточность деления хорды АВ на 3 части в этом способе компенсируют построением трети BC дуги AnB, отсекая окружностью Y, построенную на срединном перпендикуляре DC и продолжением хорды AB, приблизительно треть хорды AmB (Уж простите за побег от операторов геометрии, но это сильно усложняет описание…). Что уж говорить, способ действительно достаточно точно отрезает от угла AOB треть, но с помощью компенсации части неточности дополнительным построением. Вот на этом бы мне остановиться, но нет – где-то вглубине что-то подсказывает мне, что решение все же есть. Поэтому, вооружившись (нет, не циркулем и линейкой, как вы подумали – все же в прогрессивном мире живем), а САПР AutoCAD, представив его функции как циркуль и линейку, взялся за построение угла: 

   Так, теперь задача ясна, всего то отрезаем треть и – вуаля! Но не тут то было. Совершенно очевидно, что деление на нечетное количество элементов случайной дуги возможно решить только сечением дочерней окружности (и откуда только эта мысль взялась, как будто прямиком мне в голову из бескрайнего простора космоса брякнулась). Поэтому я предположил, что должна существовать такая окружность, вписанная в угол АОВ, которая отсекает центральную треть дуги AnB примерно вот так:  

    Выглядит красиво, осталось только найти центр этой дочерней окружности с помощью циркуля и линейки, ну еще и доказать новую теорему: Существует такая окружность, вписанная в угол менее 180 градусов, которая отсекает треть от дуги, построенной из его вершины). Совершенно очевидно, что центр любой вписанной в угол AOB окружности будет лежать на его биссектрисе, но… Есть как минимум одно «но» - задачи на построение даже любых вписанных в угол окружностей попросту нет, не то что уж на построение окружности, отсекающей центральную треть. Так что - иду вперед, на решение первого шага на пути к решению…  

Продолжение следует в следующей статье "Дорога начинается с первого шага"