Математическое мышление: Восток против Запада
Сриниваса Рамануджан — индийский математик, любопытный персонаж с метафизическими корнями. В фильме “Человек, который познал бесконечность” (о трагической судьбе индийского математика) ярко продемонстрирована пропасть между интуитивным (как у Рамануджана) и доказательным (как у другого главного героя — английского математика Годфри Харди) восприятием математики. Главный герой одухотворяет числа, он говорит: “Уравнение бессмысленно, если оно не выражает мысль Бога”. Его отношение к числам — эстетическое. Это позволяет ему увидеть тысячи верных математических выражений и уравнений, но не доказать их. По словам Харди: «Его понимание сущности математического доказательства было более чем туманным; он пришел ко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных соображений и логических рассуждений. . . » Он обладал поразительными способностями подмечать арифметические закономерности, терпеливо рассматривая огромный числовой материал — искусство, которым виртуозно владели Эйлер и Гаусс, но которое было в значительной степени утрачено к XX веку.
Вячеслав Иванов приписывает такой феномен особой индийской математической традиции: “XX век еще видел последнего крупного представителя древней индийской традиции такого отношения к числам, как к различным индивидуальностям. Исключительно одаренный математик Рамануджан, не получивший никакого систематического образования (и до своего приезда в Европу изучивший только одни книгу по математике), знал каждое число (включая и очень большие числа), о котором он думал, как своего знакомого. Ему были известны свойства чисел так, как люди знают особенности своих друзей.”
Кстати, такое же восприятие чисел Иванов приписывал Велимиру Хлебникову. Тот в стихотворении “Числа” признается: “Я всматриваюсь в вас, о числа, И вы мне видитесь одетыми в звери, в их шкурах…”.
Иванов делает вывод: “Понятно, что при таком восприятии чисел как конкретных индивидов они должны находиться в ведении правого полушария: ведь именно оно может запоминать “впрок” сколько угодно новых лиц (в пределах своих огромных возможностей). Стоит отметить, что память Рамануджана изумляла всех его знавших: он помнил, в частности, все глагольные корни и все производные от них залоговые формы санскрита (для него — языка его касты, но не родного, что можно сравнить с ролью французского языка для русских дворян). Роль удивительной памяти Рамануджана в его оперировании с числами можно было бы пояснить сопоставлением с тем, как Выготский объяснял значение памяти в поведении примитивного человека. Она выполняла те функции, которые потом выделились из памяти. Знание системы операций над числами избавляет от необходимости их помнить.”Т.к. его математическая база формировалась в течение 1903–1914 гг. практически в полной изоляции от мировой математической науки, то он многое переоткрыл заново. “Рамануджан стремительно пополняет запас фактов, почерпнутый у Карра (автор учебника по математике). Он при этом с удивительной скоростью переоткрывает результаты Эйлера, Гаусса, Якоби. Так некогда юный Гаусс в Брауншвейге, лишенный литературы, реконструировал в короткий срок то, на что у его великих предшественников ушли десятилетия. Можно только удивляться, что реконструкции математики с такими скоростями возможны.” В это время он записал многие свои математические открытия в своих тетрадях, без доказательств. Многие из полученных им оригинальных результатов были заново открыты впоследствии и другими учеными, большая часть — еще нет.
Преодолеть разрыв между интуитивным мышлением и доказательным мышлением Рамануджану помогает Годфри Харди, по настоянию которого в 27-летнем возрасте Рамануджан переехал в Кембридж.. “Харди же работал в традиционном русле, постепенно расширяя описательную часть существующей математики. Большинство его работ начинаются — явно или неявно — с цитирования некоторого результата из математической литературы, а затем продолжаются рассказом о том, как этот результат может быть распространен с помощью ряда точных шагов. У него нет внезапных эмпирических открытий, как нет и необъяснимых скачков, основанных на интуиции. Его математика тщательно аргументирована и построена по кирпичику.”
Несмотря на особенности мышления и методов работы с числами, Рамануджан достиг определенных успехов в одном из центров европейской математической науки. Он стал своеобразным экспериментатором в математике: он свободно входил во вселенную математических возможностей и делал расчеты для того, чтобы найти интересные и значимые факты — и только затем строил теории, основанные на них. Начав учиться по европейским лекалам и работать с Харди, через некоторое время после приезда в Англию он пишет домой, что освоил “их методы”, и пытается “получить новые результаты их методами, чтобы легко и без задержек публиковаться”.
Репутация Рамануджана как математика быстро растет. Через 4 года после прибытия в Кембридж он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно стал профессором Кембриджского университета.Такая специфическая гениальность Рамануджана позволила ему выйти за фронтир математической науки настолько, что некоторые его математические откровения начинают пониматься и использоваться только сейчас, по прошествии многих десятилетий. Например, нобелевский лауреат С. Вайнберг, занимаясь в начале 70-х годов очень популярной сейчас теорией струн, столкнулся с задачей об оценке функции разбиений p(n) для больших n. Выяснилось, что нужные формулы получили Харди и Рамануджан в 1918 г. А Р.Бекстер, занимавшийся моделями статистической механики, при исследовании модели “жесткого гексагона” неожиданно обнаружил, что постоянно имеет дело с тождествами Роджерса-Рамануджана.
В это ключе интересно посмертное приключение интеллектуального наследия индийского математика. Уже находясь на смертном одре в 1920 году Сриниваса Рамануджан записал ряд таинственных функций, которые подобны тета-функциям и модулярным функциям. Рамануджан умер прежде, чем смог доказать истинность написанных функций. После его смерти в 1920 г. в Индии, его вдова передала записные книжки мужа в университет Мадраса. Оттуда их переслали в Англию Годфри Харди. Однако Харди не придал особого значения тетради своего умершего коллеги. Судя по всему, Харди к тому времени уже потерял нюх и в какой-то момент передал все эти бумаги, не обратив на них особого внимания, своему ученику Ватсону. Джордж Ватсон не знал почерка Рамануджана и тоже не заметил выдающуюся рукопись. После смерти Ватсона его друг Джон Уиттекер (J. M. Whittaker) разобрал полуметровый слой бумаг, которыми был завален пол в кабинете покойного, часть из них сжег, а часть переслал в Trinity College в Кембридже. И только в 1976 г. американский математик Джордж Эндрюс (George E. Andrews), автор книги «Теория разбиений», “знакомый с почерком Рамануджана”, наткнулся на его последнюю тетрадь в библиотеке Тринити-колледжа — и ахнул. Как сказал позже Берндт: «Открытие этого „утерянного блокнота“ вызвало бум в математическом мире такой же, какой могло бы вызвать открытие десятой симфонии Бетховена в мире музыкальном». Результаты гениального индийского математика, представленные в этой 138-страничной тетради, освоены современной математикой лишь частично. В ней содержатся около 650 утверждений без доказательств.
И вот, более чем 90 лет спустя после смерти индийского математика, в 2002 году Кен Оно и его команда доказали, что функции Рамануджана из последней тетради действительно подражают модулярным формам, но не разделяют некоторых их свойств, таких как суперсимметрия. Расширение мнимых модулярных функций, известных ученым, позволит физикам в вычислении и описании некоторых экзотических параметров и явлений, таких, как энтропия, уровень хаоса, черных дыр.
Здесь к месту напомнить высказывание Дирака: “По-настоящему красивая математическая теория непременно найдет себе применение в объяснении мироздания”.Эта история про Сриниваса Рамануджана оставалась бы для меня просто интересным в чем-то поучительным историческом анекдотом из мира математической науки, если бы не размышления Стивена Вольфрама — известного разработчик системы компьютерной алгебры Mathematica и системы извлечения знаний WolframAlpha. Он как-то разбирался с историей Рамануджана и тоже отметил, что обладая прекрасной памятью и хорошей способностью замечать закономерности, индийский математик мог узнать многое из сложного выражения или длинного числа. “Каждый объект будто сам просился рассказать ему свою историю. Рамануджан генерировал все эти вещи своими собственными усилиями. Но в конце 1970-х и начале 1980-х гг. у меня был опыт автоматической генерации большого количества сложных результатов с помощью компьютера. Я делал это какое-то время, и случилось кое-что интересное: отныне я был в состоянии быстро распознавать «текстуру» результатов и мог сразу увидеть, что с большой степенью вероятности будет верно. Если я имел дело, скажем, с некоторыми сложным интегралом, это было не то же самое, что знать теоремы о нем. Моя интуиция работала — например, я мог предположить, какие функции появятся в результате. Учитывая это, я мог бы заставить компьютер продолжить и получить детальную картину — а значит, и убедиться, что результат был правильным. Но при этом я не мог вывести, почему результат был истинным; я просто получал его с помощью интуиции и расчета.”
Стивен Вольфрам делает следующие выводы. “Так как же Рамануджану удалось фактически предсказать все эти глубокие принципы более поздней математики? Думаю, что тут могут быть два варианта. Во-первых, если некто, получив достаточно неожиданный результат, скажем, в теории чисел, идет дальше в попытке понять его, то в конечном итоге он достигнет некоего принципа. Вторая возможность состоит в том, что Рамануджан, по всей видимости, обладал эстетическим чувством, которое помогало ему объединять казалось бы случайные факты, подходящие друг к другу и имеющие более глубокое значение. В общем, я поддерживаю идею о том, что Рамануджан обладал такими эстетическими критериями и интуицией, что смог в своих работах «захватить» некоторые из глубоких принципов, о которых мы узнали гораздо позднее.”В конце фильма “Человек, который познал бесконечность” Годфри Харди, знаменитый своими атеистическими убеждениями, говорит в память о друге и коллеге: “Мы всего лишь гонимся за вечностью, чтобы познать совершенство. Мы не изобретаем формулы, они уже существуют! И они открываются лишь самым умным — таким, как Рамануджан — чтобы быть доказанными. Так что…в конце концов я пришёл к мнению: кто мы такие, чтобы сомневаться в Рамануджане…и уж тем более в Боге?”. Предполагаю, что в устах Харди это были в большей степени метафорические суждения. А я думаю — уж не является ли такой (“индийский”) подход в работе с данными адекватным для сочетания силы естественного и машинного интеллектов? Человек будет силой воображения, интуиции и волевого целеполагания устанавливать истины, а компьютерный интеллект будет их доказывать или опровергать. Мы приходим на новом ветке спирали развития к казалось бы более архаичной форме математического мышления…
Используемые материалы:
http://old.pskgu.ru/ebooks/gindikinpdf/g012.pdf
http://lib.ru/NTL/KIBERNETIKA/IWANOW_W/odd_even.txt
https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/306250/
https://dailytechinfo.org/news/4366-uchenye-razgadali-matematicheskie-sekrety-vekovoy-davnosti.html